Теорема Гаусса. Любое алгебраическое уравнение 
(*) имеет на множестве комплексных чисел хотя бы одно решение.
| | ||
Теорема Гаусса. Любое алгебраическое уравнение
(*) имеет на множестве комплексных чисел хотя бы одно решение.
Эту теорему также называют основной теоремой алгебры . Согласно этой теореме, уравнение (*) имеет хотя бы один корень z = z 0. Разделив многочлен, стоящий в левой части (*) на одночлен ( z = z 0 ), мы получим снова уравнение вида (*), которое согласно той же теореме Гаусса имеет хотя бы одно решение. Продолжая так n раз, получим следствие теоремы Гаусса: любое алгебраическое уравнение n -ной степени имеет ровно n , вообще говоря, комплексных, корней (разумеется, некоторые корни могут совпадать).
Решите уравнение z 3 + z – 2 = 0.
Очевидно, z = 1 – корень этого уравнения.
Разделив многочлен z 3 + z – 2 на одночлен ( z – 1), например, по схеме
Горнера, получим разложение исходного многочлена на множители: 
Корни квадратичной функции находим по формуле корней квадратного уравнения: 
Ответ. 1, 
Рациональные уравнения являются следующим по сложности типом стандартных уравнений.
Функция f ( x ) называется рациональной ( дробно-рациональной ), если
она представима в виде отношения двух многочленов: 
(степени n и m многочленов могут быть произвольными).
Уравнение f ( x ) = g ( x ) называется дробно-рациональным , если f ( x ) и g ( x ) являются дробно-рациональными функциями.
Для решения дробно-рациональных уравнений существует алгоритм.
1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
2. Заменить данное уравнение уравнением с целыми коэффициентами, умножив его на общий знаменатель.
3. Попытаться решить полученное уравнение с целыми коэффициентами.
4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
5. Записать ответ.
Разложение выражений на множители Пример Разложить на множители многочлен 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1.
Замена переменных в уравнении Пожалуй, самым важным методом решения уравнений любого типа является введение нового неизвестного, относительно которого уравнение имеет более простой вид, легко приводящийся к элементарному типу. Пример Решите уравнение ( x 2 + x + 1)( x 2 + x + 2) = 12.
Равносильность
уравнений Уравнением с одной переменной x называется выражение f ( x
) = g ( x ), (1) Равносильны ли уравнения x = 1 и
Пример Рассмотрим уравнение 
Тригонометрические неравенства Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые x = 1 и y = 1 соответственно, касающиеся тригонометрической окружности. Неравенства с обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованием графиков обратных тригонометрических функций.
Рациональные
неравенства Решите неравенство 
Таким образом, показан принципиальный метод решения рациональных неравенств. Имея в виду последнее замечание, метод интервалов для рациональных функций можно сформулировать в следующем виде Иррациональные неравенства Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными .
Решите
неравенство 
Решите
неравенство 
Неравенства вида
Решите неравенство
Неравенства вида 
Неравенства с модулем Основные способы
решений неравенств с модулем во многом совпадают с методами решения аналогичных
уравнений. Единственное отличие, пожалуй, связано с тем, что, решая неравенства
с модулем (как, впрочем, и неравенства вообще), нужно очень внимательно совершать
равносильные переходы и следить не только за тем, чтобы не приобрести новые решения,
но и за тем, чтобы не потерять уже имеющиеся. Решите неравенство 
Найдём условие, при котором будут равны синусы
двух углов Решите уравнение sin x – 2 cos
x = 0. Равносильны ли неравенства 
Умножение одночленов. Произведение нескольких одночленов можно упростить, если только оно содержит степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатели степеней складываются, а числовые коэффициенты перемножаются.
