Понятие комплексного числа Одночлены и многочлены Тригонометрические выражения

Школьный курс алгебры учебник

Алгебраические уравнения

Теорема Гаусса. Любое алгебраическое уравнение (*) имеет на множестве комплексных чисел хотя бы одно решение.

Эту теорему также называют основной теоремой алгебры . Согласно этой теореме, уравнение (*) имеет хотя бы один корень z = z 0. Разделив многочлен, стоящий в левой части (*) на одночлен ( z = z 0 ), мы получим снова уравнение вида (*), которое согласно той же теореме Гаусса имеет хотя бы одно решение. Продолжая так n раз, получим следствие теоремы Гаусса: любое алгебраическое уравнение n -ной степени имеет ровно n , вообще говоря, комплексных, корней (разумеется, некоторые корни могут совпадать).

Пример 1

Решите уравнение z 3 + z – 2 = 0.

Показать решение

Очевидно, z = 1 – корень этого уравнения. Разделив многочлен z 3 + z – 2 на одночлен ( z – 1), например, по схеме Горнера, получим разложение исходного многочлена на множители: Корни квадратичной функции находим по формуле корней квадратного уравнения:

Ответ. 1,

Рациональные уравнения являются следующим по сложности типом стандартных уравнений.

Функция f ( x ) называется рациональной ( дробно-рациональной ), если она представима в виде отношения двух многочленов:  (степени n и m многочленов могут быть произвольными).

 

Уравнение f ( x ) = g ( x ) называется дробно-рациональным , если f ( x ) и g ( x ) являются дробно-рациональными функциями.

Для решения дробно-рациональных уравнений существует алгоритм.

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Заменить данное уравнение уравнением с целыми коэффициентами, умножив его на общий знаменатель.

3. Попытаться решить полученное уравнение с целыми коэффициентами.

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

5. Записать ответ.

Решите уравнение

Разложение выражений на множители Пример Разложить на множители многочлен 3 x 3  –  x 2  – 3 x  + 1.

Замена переменных в уравнении Пожалуй, самым важным методом решения уравнений любого типа является введение нового неизвестного, относительно которого уравнение имеет более простой вид, легко приводящийся к элементарному типу. Пример  Решите уравнение ( x 2  +  x  + 1)( x 2  +  x  + 2) = 12.

Равносильность уравнений Уравнением с одной переменной x называется выражение f  ( x ) =  g  ( x ), (1) Равносильны ли уравнения x  = 1 и

Пример Равносильны ли уравнения x  = 1 и x ( x  – 2) =  x  – 2?

Пример Рассмотрим уравнение

Тригонометрические неравенства Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые x =  1 и y = 1 соответственно, касающиеся тригонометрической окружности. Неравенства с обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованием графиков обратных тригонометрических функций.

Рациональные неравенства Решите неравенство

Таким образом, показан принципиальный метод решения рациональных неравенств. Имея в виду последнее замечание, метод интервалов для рациональных функций можно сформулировать в следующем виде Иррациональные неравенства Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными .

Решите неравенство Решите неравенство

Неравенства вида Решите неравенство Неравенства вида

Неравенства с модулем Основные способы решений неравенств с модулем во многом совпадают с методами решения аналогичных уравнений. Единственное отличие, пожалуй, связано с тем, что, решая неравенства с модулем (как, впрочем, и неравенства вообще), нужно очень внимательно совершать равносильные переходы и следить не только за тем, чтобы не приобрести новые решения, но и за тем, чтобы не потерять уже имеющиеся. Решите неравенство Найдём условие, при котором будут равны синусы двух углов Решите уравнение sin x – 2 cos  x = 0. Равносильны ли неравенства

Умножение одночленов. Произведение нескольких одночленов можно упростить, если только оно содержит степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатели степеней складываются, а числовые коэффициенты перемножаются.
Исследование поведения функции