стремится к некоторой постоянной величине. Назовём её вероятностью p наступления
события. |
| ||
В жизни мы часто сталкиваемся со случайными явлениями. Чем обусловлена их случайность – нашим незнанием истинных причин происходящего или случайность лежит в основе многих явлений? Споры на эту тему не утихают в самых разных областях науки. Случайным ли образом возникают мутации, насколько зависит историческое развитие от отдельной личности, можно ли считать Вселенную случайным отклонением от законов сохранения? Пуанкаре, призывая разграничить случайность, связанную с неустойчивостью, от случайности, связанной с нашим незнанием, приводил следующий вопрос: «Почему люди находят совершенно естественным молиться о дожде, в то время как они сочли бы смешным просить в молитве о затмении?»
В дальнейшем мы не будем касаться природы понятия случайности, но при каждом конкретном применении теории вероятностей и статистики нужно сначала внимательно проанализировать суть происходящих явлений.
Попробуем ознакомиться с основными закономерностями случайных процессов.
Для начала, возьмем в руки монетку, будем ее бросать и записывать результат последовательно в виде строки: О, Р, Р, О, О, Р. Здесь буквами О и Р обозначено выпадение орла или решки. В нашем случае бросание монетки – это испытание , а выпадение орла или решки – событие , то есть возможный исход нашего испытания.
Пусть мы провели испытание N раз, R раз выпала решка, O = N – R раз выпал орел.
Предположим,
что при большом числе испытаний N отношение
стремится к некоторой постоянной величине. Назовём её вероятностью p наступления
события.
Если
существует идеализированный процесс, который можно представить в виде испытаний,
и частота случайного события приближается к пределу 
то этот предел называется вероятностью данного случайного события.
Часто вероятность, которая в нашем определении заключена в интервале 0 ≤ p ≤ 1, выражают в процентах, умножая число p на 100 %.
Иногда вероятность события можно предсказать из соображений симметрии. Например, при бросании «идеального» игрального кубика выпадение любой грани равновозможно (равновероятно). Всего граней 6, значит, вероятность выпадения i -й грани p ( A i ) = p ( A 1 ) = p ( A 2 ) = p ( A 3 ) = p ( A 4 ) = p ( A 5 ) = p ( A 6 ) = 1/6.
Если
мы имеем дело с измеримыми случайными величинами, например, измеряем в течение
нескольких лет количество снега, выпавшего за день, то понятие вероятности тоже
можно ввести. Для этого запишем результаты измерения в таблицу с точностью, например,
в сантиметр и подсчитаем относительную частоту появления того или иного значения.
Например, вероятность того, что выпадет 3 см снега, – 
где N (3) – количество дней, в каждый из которых выпало 3 см, N –
общее количество дней, в которые проводились измерения.
Для того чтобы найти вероятность события A , происходящего в серии испытаний, нужно:
оно
и будет равно вероятности p ( A ) наступления события A . В этой очевидной инструкции есть очень важный пункт о равновероятности исходов. Проиллюстрируем его на примерах.
Пример С какой вероятностью монета, брошенная дважды, по крайней мере один раз выпадет гербом? Все задачи курса теории вероятностей связаны с многократным повторением испытаний и фиксацией результата испытаний – событий. Рассмотрим различные события на примере бросков игрального кубика – A .
События и вероятности Уточним понятие независимых событий Пассажир ждёт трамвая № 2 или № 7 возле остановки, на которой останавливаются трамваи № 2, № 5, № 7 и № 24. Считая, что трамваи всех маршрутов появляются случайным образом (не по расписанию) одинаково часто, найдите вероятность того, что первый подошедший к остановке трамвай будет нужного пассажиру маршрута.
Условная вероятность Вернемся к примеру с пятью билетами. Допустим, что после того, как ученик взял билет, он кладёт его обратно. Поставим два вопроса: какова вероятность того, что третьему ученику попадётся самый простой билет, и какова вероятность того, что он достанется первым трём ученикам?
Пример Задача Пункаре
Метод Гаусса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.