Математика Дифференциальные уравнения вычислить интеграл решения задачи

Задача . Найти силу давления , испытываемую полукругом радиуса , погруженным вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с поверхностью воды (рис 3).

Разобьём площадь полукруга на элементы (полоски) ширины , параллельные поверхности воды.

Площадь одного такого элемента (отбрасывая бесконечно малые высшего порядка), находящегося на расстоянии  от поверхности воды, равна

.

Сила давления, испытываемая этим элементом, равна , где   - плотность воды,  - ускорение свободного падения. Отсюда вся сила давления есть

Моменты. Центры масс плоских фигур.

 Моментом инерции относительно оси  материальной точки , имеющей массу  и отстоящей от оси  на расстояние , называется величина .

 Моментом инерции относительно оси  системы   материальных точек с массами   называется сумма

где   - расстояния точек до оси . В случае сплошной массы, распределённой в плоской области, вместо суммы должен быть соответствующий интеграл.

Найти момент инерции однородной пластинки, имеющей форму треугольника с основанием  и высотой , относительно его основания. Будет предполагать пластинку однородной, так что её поверхностная плотность равна  (т.е. масса, приходящаяся на единицу площади) будет постоянной и, следовательно, , где  - площадь пластинки.

Найти статический момент однородной пластинки, имеющей форму полукруга радиуса  и плотность , относительно основания полукруга.

Вычислить Оценить сходимость