Дифференциальное уравнение Изменить порядок интегрирования

Математика Дифференциальные уравнения вычислить интеграл решения задачи

Пример. Найти длину дуги , отсеченную прямой .

 Решение: Уравнение линий заданы в декартовых координатах.

 Воспользуемся формулой (2а), табл. .

 Из чертежа видно, что пределы интегрирования

 будут   и

  (рис. 3).

 Рис. 3 .

  (кв. ед.).

 Пример. вычислить длину одной арки циклоиды

  (рис. 4).

 Решение: Из соотношения  видно, что значение  соответствует ,

  соответствует ,

. Так как уравнение линии

задано в декартовых координатах

(вид в), то используем формулу (2в),

табл.: , .

  Рис. 4

.

Координатные линии

Рассмотрим пересечения двух координатных поверхностей

   Очевидно, что кривая, по которой пересекаются эти поверхности, обладает таким свойством, что вдоль этой кривой координаты  и  постоянны, а меняется одна только координата , поэтому эта кривая называется координатной линией . Аналогично пересечение поверхностей

 

 и 

даёт нам соответственно координатные линии  и .

Очевидно, что в общем случае координатные линии представляют собой некоторые кривые, поэтому координаты  и  называются криволинейными координатами. Проведем к координатным линиям, пересекающимся в точке , касательные, направления которых соответствуют направлениям возрастания координат. Орты этих осей называются ортами криволинейных координатных осей и обозначаются соответственно  и . Систему криволинейных координат называют ортогональной, если ортогональны орты  и , т.е. если выполняются условия

.

Заметим, что в декартовой системе координат  координатными поверхностями будут являться плоскости, параллельные координатным плоскостям , а координатными линиями - прямые, параллельные осям   и .

Вычислить длину кардиоиды , соответствующую .

Вычислить площадь, ограниченную кривыми

Вычислить

Вычислить площадь эллипса с полуосями

Вычислить площадь, ограниченную кривой . Найти длину дуги астроиды

Найти длину дуги окружности радиуса , записав её уравнение в полярных координатах

Найти объём шара радиуса .

Давление на пластинку, погруженную вертикально в жидкость Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на пластинку площади  с глубиной погружения  равна , где   - плотность жидкости,  - ускорение свободного падения.

Понятие числового ряда, сходящегося ряда и его суммы. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сравнения для положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Эталонные положительные ряды. Критерий Коши сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной сходимости числового ряда. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Признаки Дирихле и Абеля.
Интнгралы при вычисление площади и обьема