Дифференциальное уравнение Изменить порядок интегрирования

Математика Дифференциальные уравнения вычислить интеграл решения задачи

Задача Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями у=11 – х2; у= - 10х.

Решение.

Для нахождения точек пересечения параболы у=11 – х2 с прямой у= - 10х.

решим систему

Получим точку А (-1; 10) и точку В (11; -110). Построим линии ограничивающие заданную фигуру (рис.8).

Рис.8

Напомним, что площадь SD области D находится по формуле

Таким образом,

Ответ:  SD =288

Задача

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

 

Решение:

Для нахождения точек пересечения окружности х2+у2=12 с параболой   решим систему 

Получим точку А() и точку В(). Построим линии, ограничивающие данную фигуру (рис.9)

Рис.9.


В качестве заданной фигуры следует взять заштрихованную часть круга, так как именно в этой части выполняется условие х³0. Таким образом,

К первому из полученных интегралов применим подстановку , второй вычисляется непосредственно:

Ответ:

Криволинейные координаты и замена переменных в кратных интегралах

Криволинейные координаты

Относительно пространственной декартовой системы координат  положение точки определяется её тремя декартовыми координатами ,  и . Если , то положение точки  можно определить, задав такие три параметра:  - расстояние точки   от оси ;  -расстояние точки  от начала координат;  - двухгранный угол между плоскостью  и плоскостью,

проходящей через ось и точку   (рис. 12). Очевидно, что параметры ,  и  можно выразить через декартовы координаты  и . Параметры ,  и  мы можем также назвать координатами точки , .

И вообще, за координаты точки  мы можем принять любые три функции:

  (1)

лишь бы только соотношениями (1) координаты  и  определялись однозначно:

  (2)

Т.е. ни одно из соотношений (1) или (2) не должно противоречить другим или быть следствием других. Заметим, что из соотношений (2) в этом случае параметры  и  также будут определяться однозначно. Можно доказать, что эти условия выполняются, если определить , называемый определителем Якоби или якобианом преобразования, отличен от нуля, т.е.

  (3)

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями: у2-4у+х2=0;  у2-8у+х2=0; ; Указание. В этой задаче двойной интеграл удобнее вычислять в полярной системе координат.

Пластина D задана ограничивающими ее кривыми M--поверхностная плотность. Найти массу пластины.

Найти формулу вычисления объема шара. В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности. Уравнение шара имеет вид:

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями: х2+у2+2х=0; z=25/4 –y2; z=0.

Решение: Возведя в квадрат обе части первого уравнения и переписав его в виде x2+y2+z2=36, находим, что первое уравнение есть уравнение верхней половины сферы с центром в начале координат и радиусом равным 6 (верхней потому что перед корнем стоит знак «+»). Второе уравнение приводится к виду z2=(x2+y2)/3. Это есть уравнение конуса, образованного вращением прямой  вокруг оси oz. Тело, ограниченное этими поверхностями, изображено на

найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями z=10(x2+y2)+1; z=1-20y.

Вычислить площадь, ограниченную параболой  и прямыми  и .

 Верхние и нижние суммы Дарбу. Основные классы функций, интегрируемых по Риману. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных. Основные свойства кратного интеграла. Двойные интегралы. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в двойных интегралах. Переход к полярным координатам в двойных интегралах. Геометрические и физические приложения двойных интегралов.
Интнгралы при вычисление площади и обьема