Математика решение контрольных, курсовых, типовых заданий

Математика контрольная примеры решения задач

Достаточные условия локального экстремума функции одной переменной. Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Необходимое и достаточное условие выпуклости (вогнутости). Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба.

Исследование поведения функции

Выпуклость и точки перегиба

Пусть функция f определена на интервале  и пусть . Проведём прямую через точки , лежащие на графике функции f. Её уравнение имеет вид

 .

Обозначим правую часть этого уравнения через ; тогда оно кратко запишется в виде .

Очевидно, .

Функция f называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале , если, каковы бы ни были точки x1 и x2, , для любой точки  выполняется неравенство

   (33.1)

соответственно неравенство

 ). (33.2)

Геометрически это означает, что любая точка хорды AB (т. е. отрезка прямой   с концами в точках A и B) лежит не выше (не ниже) точки графика функции f, соответствующей тому же значению аргумента.

Если вместо (33.1) и (33.2) выполняются строгие неравенства  и соответственно  при любых x0, x1 и x2 таких, что , то функция f называется строго выпуклой вверх (строго выпуклой вниз) на интервале .

В этом случае любая точка хорды AB, исключая ее концы, лежит ниже (выше) соответствующей точки графика функции.

Теоремы о среднем значении (теоремы Ролля, Лагранжа и Коши) и их геометрическая интерпретация. Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена и их использование для представления и приближенного вычисления значений функций. Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на интервале
подарки вазы Математический анализ