Математика решение контрольных, курсовых, типовых заданий

Математика контрольная примеры решения задач

Достаточные условия локального экстремума функции одной переменной. Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Необходимое и достаточное условие выпуклости (вогнутости). Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба.

Исследование поведения функции

Признак монотонности функции

Теорема 20. Для того чтобы непрерывная на некотором промежутке функция, дифференцируемая во всех его внутренних точках, возрастала (убывала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы производная функции была во всех внутренних точках промежутка неотрицательна (неположительна).

Если во всех внутренних точках промежутка производная функции положительна (отрицательна), то функция строго возрастает (строго убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Необходимость. Если функция f возрастает (убывает) на промежутке D (отрезке, интервале или полуинтервале) с концами в точках a и b, а x0ÎD, Dx>0, x0+DxÎD, то  (соответственно ), поэтому  (соответственно ).

Следовательно,  (соответственно ). Перейдя к пределу при Dx®0, получим  (соответственно ).

Доказательство. Достаточность. Пусть , тогда по формуле Лагранжа, , где . Так как , то при  на  (откуда следует, в частности, ) будем иметь , т. е. функция f возрастает. Аналогично, при   на  имеем  и, следовательно, , т. е. функция f убывает.

Если   на , то  и поэтому , т. е. функция f строго возрастает. Если же  на , то , следовательно, , т. е. функция f строго убывает. □

Замечание. Условия  и  не являются необходимыми для строгого возрастания (строгого убывания) дифференцируемой на интервале функции, что показывают примеры функций . Первая из них строго возрастает, а вторая строго убывает на всей числовой оси, но при x0=0 их производные обращаются в нуль.

Пример. Исследовать функции на монотонность:

1. .

2. .

3. .

4. .

Теоремы о среднем значении (теоремы Ролля, Лагранжа и Коши) и их геометрическая интерпретация. Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена и их использование для представления и приближенного вычисления значений функций. Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на интервале
Инженерная графика Машиностроительное черчение Математический анализ