Математика решение контрольных, курсовых, типовых заданий

Математика контрольная примеры решения задач

Понятие об экстремумах функции одной переменной. Задача максимизации прибыли фирмы. Локальный экстремум (внутренний и граничный) функции одной переменной. Необходимое условие внутреннего локального экстремума (теорема Ферма).

Теорема Коши

Пусть функции f и g:

1) непрерывны на отрезке ;

2) имеют производные в каждой точке интервала ;

3)   во всех точках интервала .

Тогда существует такая точка x, a<x<b, что

 . (28.9)

Замечание. Заметим, что из условий теоремы следует, что формула (28.9) имеет смысл, т. е. . В самом деле, если , то функция g удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля и, значит, нашлась бы такая точка x, что , a < x < b, что противоречило бы условию 3.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

 , (28.10)

где число l выберем таким образом, чтобы , т. е. чтобы . Для этого нужно взять

 . (28.11)

Функция F удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, следовательно, существует такая точка x, a < x < b, что . Но из (28.10) , поэтому , откуда следует, что

 .  (28.12)

Сравнив (28.11) и (28.12), получим формулу (28.9), обычно называемую формулой конечных приращений Коши. □

Отметим, что формула конечных приращений Лагранжа является частным случаем формулы конечных приращений Коши, в которой .

Понятие дифференциала функции одной переменной. Геометрическая интерпретация дифференциала. Свойства дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной и их свойства.
Легендарный ледокол &#171;Ленин&#187; Асинхронный электродвигатель http://fimat.ru/ Математический анализ