Математика решение контрольных, курсовых, типовых заданий

Математика курсовая примеры решения задач

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Связь непрерывности и дифференцируемости функции одной переменной. Производная суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Производные основных элементарных функций.

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теорема Ферма

В терминах производных оказывается удобным описывать различные свойства функций. Прежде всего, укажем характеристическое свойство точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Напомним, что если функция   определена на некотором множестве X, то говорят, что она принимает в точке x0 наибольшее (наименьшее) значение на множестве X, если для всех точек  выполняется неравенство  (неравенство ).

Если для всех  и  выполняется неравенство  (неравенство ), то говорят, что в точке x0 функция  принимает строго наибольшее (строго наименьшее) значение на множестве X.

Точки, в которых функция принимает значения (строгого) максимума или минимума, называются точками (строгого) экстремума.

Теорема 10 (теорема Ферма). Пусть функция определена на некотором промежутке и в некоторой внутренней точке этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Тогда если в этой точке существует конечная производная, то эта производная равна нулю. Дифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения. В дифференциальных уравнениях неизвестная функция содержится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функций, представляющих собой решения этих уравнений.

Доказательство. Пусть функция  определена в окрестности U(x0) точки x0 и принимает для определённости при x = x0 наибольшее значение, т. е. для всех  выполняется неравенство . Тогда если x < x0,

 , (27.1)

а если x > x0, то

 . (27.2)

По условию теоремы в точке x0 существует конечный предел, поэтому, переходя в неравенствах (21) и (22) к пределу при x ® x0, получим соответственно  и . Следовательно, . □

Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том, что если при x = x0 дифференцируемая функция f принимает наибольшее (наименьшее) значение на некоторой окрестности точки x0, то касательная к графику функции в точке (x0, f(x0)) параллельна оси Ox.

Замечание. Если функция  принимает наибольшее (наименьшее) значение при x = x0 по сравнению с её значениями в точках, лежащих по одну сторону от точки x0, и имеет в x0 соответствующую одностороннюю производную, то эта производная может быть не равна нулю. Так, например, функция , рассматриваемая на отрезке , принимает при x = 0 минимальное, а при x = 1 – максимальное значение, однако как в той, так и в другой точке производная равна единице.

Пример. Найти наименьшее значение функций   на отрезке . Справедлива ли теорема Ферма в этих точках?

Понятие производной функции одной переменной. Геометрическая и экономическая интерпретации производной. Уравнение касательной. Понятие о предельной полезности продукта и предельной производительности ресурса. Понятие об эластичности функции. Понятие дифференцируемой функции.
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах Способ вращения вокруг проецирующей прямой http://matses.ru/ Математический анализ