Математика решение контрольных, курсовых, типовых заданий

Математика типовая работа примеры решения задач

Открытые и замкнутые множества на плоскости и в п-мерном пространстве. Понятие линейной, неотрицательной и выпуклой комбинации точек плоскости и п-мерного пространства. Выпуклые и невыпуклые множества на плоскости и в п-мерном пространстве.

Непрерывные функции

Критерий существования предела функции в точке

Прежде чем перейти к определению непрерывных функций, рассмотрим следующую лемму.

Лемма 2. Пусть  и x0ÎX. Тогда, для того чтобы функция f имела предел в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы

 . (11.1)

Доказательство. Достаточность. Достаточность условия (2) для существования предела функции f в точке x0 очевидна: это условие даже сильнее, так как оно утверждает не только существование предела, но и определяет его значение, равное f(x0).

Необходимость. Пусть у функции f в точке x0 существует предел, равный a:

  .

Согласно определению предела это означает, что для любой последовательности , справедливо равенство

 .

В частности, поскольку x0ÎX, это равенство справедливо и для стационарной последовательности, составленной из одной точки x0, т. е. для последовательности xn = x0. В этом случае

  .

С другой стороны, поскольку предел постоянной равен самой этой постоянной, имеем

 .

Сравнивая два последних равенства, получаем f(x0) = a. □

Подмножества множества действительных чисел. Ограниченные (сверху, снизу) и неограниченные (сверху, снизу) множества. Наибольший (наименьший) элемент множества. Верхняя (нижняя) грань множества.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной Судовая ядерная ППУ ледокола Математический анализ