Расчёт сложных цепей переменного тока символическим методом

Комплексные числа

Для расчёта электрических цепей переменного тока с применением комплексных чисел необходимо знать формы их выражения. Алгебраическая форма имеет вид:

А = а + jb (3.1)

где а – вещественная часть, b – мнимая часть, j =  – мнимая единица.

Комплексное число можно показать на комплексной плоскости как вектор, конец которого имеет координаты а и b (рисунок 3.1). По горизонтальной оси откладываются вещественные числа, а по вертикальной – мнимые.

Рисунок 3.1

 Длина отрезка ОМ в определённом масштабе определяет абсолютное значение или модуль комплексного числа:

A =

  а) б) в)

Рисунок 3.2

Формула для определения угла α зависит от квадранта, в котором находится вектор комплексного числа. Угол α откладывается в положительном направлении против часовой стрелки, а в отрицательном направле­нии - по часовой стрелке от вещественной положительной оси. Это можно показать на рис. 3.2 (а, б и в).

Поскольку при расчёте угла α учащиеся зачастую допускают ошибки, формулы для его определения можно свести в таблицу 3.1. в которой так­же указываются знаки вещественной и мнимой частей в зависимости от квад­ранта, в котором находится заданный комплекс.

Если в формулу (3.1) подставить  выражения a = A * Cos a и b = A * Sina , то получаем тригонометрическую форму выражения комплексного числа:

Таблица 3.1

№ квадрантов	Знаки вещественной и мнимой частей		Формулы для определения угла
	a	b
I	+	+	arc tg b/a
II	–	+	180° + arc tg b/a
III	–	–	180° + arc tg b/a
IV	+	–	arc tg b/a

A = A * Cos α + jA * Sin α = A (Cos α + j Sin α).

В математике доказывается, что Cos α + j Sin α = ejα.

Тогда комплексное число можно выразить в показательной форме:

A = A * ejα.

Таким образом, комплексное число можно представить в виде:

A = a + jb = A (Cos α + j Sin α) = A * ejα. (3.2)

Комплексное число A = a – jb = A (Cos α – j Sin α) = A * ejα называется сопряжённым. Действия с комплексными числами выполняются так же, как действия с алгебраическими выражениями. Наиболее удобными для расчётов в комплексной форме являются микрокалькуляторы: SR-135 "CITIZEN"; SC-503 "CEDAR"; SC-105 "SHARP" и другие, подобные им по содержанию расширенной клавиатуры, имеющие специальный ре­жим работы с комплексными числами, включаемый клавишами <Shift> или <2nd> + <CPLX>.

Электротехники, пользуясь тем, что в большинстве случаев применяются линейные элементы, а также то, что применяемые источники выдают либо постоянный, либо гармонический сигнал, пошли путём упрощения модели и разработки простых методов расчёта системы уравнений. Понижение порядка системы уравнений за счёт огрубления модельного представления (снижение количества ветвей и узлов) также вполне допустимо, так как все электротехнические устройства выполняются с определёнными допусками.
И только сейчас, когда разработчики электронных приборов освоили сигналы с длиной волны сравнимой (а то и меньше) с размерами самих приборов, наблюдается переход в расчётах к уравнениям Максвелла.
Во многих случаях при решении простых задач с линейными элементами можно и не составлять систему уравнений. Для этого просто используют результаты решения базовых случаев.
Прежде всего можно выделить 2 базовых конфигурации.
" Последовательное подключение к источнику двух и более нагрузок (приёмников) - правило делителя напряжения;
" Параллельное подключение к источнику двух и более нагрузок (приёмников) - правило делителя токов.

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ПРОСТЕЙШЕЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Преобразование электрической энергии в тепловую. Электрическая мощность. При прохождении электрического I по участку цепи с сопротивлением r происходит преобразование электрической энергии в тепловую.

Количество электрической энергии W, преобразуемой в тепловую энергию за время t, определяется по закону Джоуля — Ленца:

Мощность  Р представляет собой количество энергии, преобразуемой в единицу времени:

или

Заменив в выражении (1.7а) произведение Ir напряжением U, получим формулу для мощности Р, характеризующей интенсивность процесса преобразования электрической энергии в тепло или другие виды энергии:

Основными единицами измерений являются: для мощности — ватт (вт), а для электрической энергии—ватт-секунда (вm-сек) или джоуль (дж). На практике чаще применяют укрупненные единицы измерении:

1 киловатт (кВт) = 1000 Вт,

1 киловатт-час (кВт ч) = 3,6*106.Ватт-сек Дж).

Метод наложения базируется на принципе суперпозиции, применимом для линейных физических систем. Применительно к линейным электрическим цепям он формулируется следующим образом: ток в любой ветви сложной электрической цепи, содержащей несколько ЭДС, равен алгебраической сумме токов от действия каждой из ЭДС в отдельности.

Электротехника примеры решения задач