Методы интегрирования


Высшая математика контрольная примеры решения задач

Предел — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.

Теорема. Всякий многочлен степени n разлагается на n линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при .

Доказательство. Пусть . Он имеет по крайней мере один корень. Пусть это будет a 1 . Тогда на основании теоремы Безу , где –многочлен степени . Он тоже имеет по крайней мере один корень. Обозначим его . Тогда , где –многочлен степени . Продолжая этот процесс выделения линейных множителей, дойдем до соотношения , где –многочлен нулевой степени, то есть некоторое фиксированное число. Это число, очевидно, равно коэффициенту A 0 при многочлена .

Подставляя в формулу (3) выражения для , получим

(4)

Замечание. Числа –корни многочлена , т.к. при подстановке этих чисел в формулу (4) получаем в правой части формулы нуль, это и означает, что .

Никакое значение , отличное от не может быть корнем многочлена , т.к. ни один из множителей в правой части (4) не обращается в нуль. Отсюда вытекает, что многочлен n–й степени не может иметь больше чем n различных корней.

Основные методы интегрирования

Метод разложения, или непосредственное интегрирование–основан на применении свойств 3, 4 неопределенного интеграла.

Пример 1.

Пример 2.

. Архимед научился находить касательную к своей спирали (а его предшественники умели проводить касательные только к коническим сечениям), нашел площадь ее витка, а также площадь эллипса, поверхности конуса и шара, объемы шара и сферического сегмента.
Дифференциальные уравнения