Методы интегрирования


Высшая математика контрольная примеры решения задач

Предел — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.

Неопределенный интеграл

Первообразная функция. Неопределенный интеграл

Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении дифференциала данной функции или ее производной. Многочисленные вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи: для данной функции найти такую функцию , производная которой равнялась бы .

Функция называется первообрàзной для функции на данном промежутке, если для всех x из этого промежутка или, что то же самое,

Естественно, возникает вопрос: для всякой ли функции существует первообразная? Ответ на него для достаточно широкого класса функций дает следующая теорема.

Любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную. Физические приложения двойного интеграла Вычисление массы плоской фигуры

Очевидно, первообразная для данной функции определяется не однозначно. Так, для функции первообразной является не только но и и , и вообще

Теорема. Если функция является первообразной для функции на отрезке то всякая другая первообразная для отличается от на постоянное слагаемое, то есть может быть представлена в виде где C–постоянная.

Доказательство. По определению первообразной тогда , то есть при любом C=const функция также является первообразной для . Покажем, что первообразных другого вида нет. Если –любая другая первообразная функции то тогда для любого а это значит, что то есть

Из теоремы следует, что выражение где –некоторая первообразная функции а C–произвольная постоянная, охватывает совокупность всех первообразных функции .

Если –одна из первообразных функции то выражение где C–произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции обозначается

Таким образом,

называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, x–переменной интегрирования, символ –знаком неопределенного интеграла.

. Архимед научился находить касательную к своей спирали (а его предшественники умели проводить касательные только к коническим сечениям), нашел площадь ее витка, а также площадь эллипса, поверхности конуса и шара, объемы шара и сферического сегмента.
Дифференциальные уравнения