Методы интегрирования


Высшая математика контрольная примеры решения задач

Предел — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.

Некоторые сведения о многочленах

Разложение многочлена на множители

Функция , где n–целое число, называется многочленом или рациональной целой функцией от x. Число n называют степенью многочлена. Коэффициенты –это действительные или комплексные числа. Независимая переменная x также может быть как действительным, так и комплексным числом.

Корнем многочлена называется такое значение переменной x, которое обращает многочлен в нуль.

Задача 7. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя).

Теорема Безу. Число a является корнем многочлена тогда и только тогда, когда многочлен делится на x–a без остатка.

Доказательство. Если многочлен степени n разделить на x–a, то очевидно в частном получится многочлен степени , а в остатке от деления число, то есть

(2)

Тогда если x=a–корень многочлена , то и, подставляя x=a, в обе части равенства (2), получим r=0.

Обратно, если r=0, то при x=a правая часть (2) обращается в нуль, тогда и , то есть x=a–корень .

Из теоремы Безу следует, что если x=a–корень многочлена, то

(3)

Например, многочлен при x=1 обращается в нуль, тогда он делится на x–1. Разделим многочлен на x–1:

_

 

_

 

 

 

_

 

 

 

Таким образом, .

Теорема (доказывается в курсе алгебры). Всякий многочлен степени имеет по крайней мере один корень. Теорема. Всякий многочлен степени n разлагается на n линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при .

Доказательство. Пусть . Он имеет по крайней мере один корень. Пусть это будет a 1 . Тогда на основании теоремы Безу , где –многочлен степени . Он тоже имеет по крайней мере один корень. Обозначим его . Тогда , где –многочлен степени . Продолжая этот процесс выделения линейных множителей, дойдем до соотношения , где –многочлен нулевой степени, то есть некоторое фиксированное число. Это число, очевидно, равно коэффициенту A 0 при многочлена .

Подставляя в формулу (3) выражения для , получим

(4)

Замечание. Числа –корни многочлена , т.к. при подстановке этих чисел в формулу (4) получаем в правой части формулы нуль, это и означает, что .

Никакое значение , отличное от не может быть корнем многочлена , т.к. ни один из множителей в правой части (4) не обращается в нуль. Отсюда вытекает, что многочлен n–й степени не может иметь больше чем n различных корней.

. Архимед научился находить касательную к своей спирали (а его предшественники умели проводить касательные только к коническим сечениям), нашел площадь ее витка, а также площадь эллипса, поверхности конуса и шара, объемы шара и сферического сегмента.
Пилатес и йога: сходства и различия в категории Всё о пилатесе, занятия йогой и пилатесом.
Дифференциальные уравнения