Методы интегрирования


Высшая математика контрольная примеры решения задач

Предел — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться полярными координатами , где r–расстояние точки от начала координат, а φ–угол, который составляет радиус–вектор этой точки с положительным направлением оси Ox. Положительным направлением изменения угла φ считается направление против часовой стрелки. Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат: , , получим тригонометрическую форму записи комплексного числа

(1)

где , φ–аргумент комплексного числа, который находят из формул , или в силу того, что , . Заметим, что при выборе значений из последнего уравнения необходимо учитывать знаки x и y.

Пример1. Записать в тригонометрической форме комплексное число .

Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов  и  и произведение любого элемента   на любое число ?

Решение. Найдем модуль и аргумент комплексного числа: . Угол φ найдем из соотношений , . Тогда получим . Очевидно точка находится во второй четверти: .

Подставляя в формулу (1) найденные r и φ, имеем .

Замечание. Аргумент комплексного числа определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2π. Тогда через обозначают значение аргумента, заключенное в пределах . Тогда .

Используя известную формулу Эйлера , получаем показательную форму записи комплексного числа. Имеем

. Архимед научился находить касательную к своей спирали (а его предшественники умели проводить касательные только к коническим сечениям), нашел площадь ее витка, а также площадь эллипса, поверхности конуса и шара, объемы шара и сферического сегмента.
Страховка для патента на сайте http://www.migrant-rt.ru.
Дифференциальные уравнения