Методы интегрирования


Высшая математика примеры решения задач

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан

Пусть M–некоторое множество пар действительных чисел , L–некоторое множество действительных чисел.

Функцией двух переменных называется правило, по которому каждой паре чисел соответствует единственное число , при условии, что каждое число соответствует хотя бы одной паре .

При этом x и y называют независимыми переменными, или аргументами, z–зависимой переменной, или функцией переменных х и у, множество М–областью определения функции, L– множеством значений, или областью изменения функции.

Обозначают:

Если паре соответствует число , то пишут , или . Число называют при этом частным значением функции при .

Так как каждой паре чисел соответствует единственная точка плоскости Оху и обратно, каждой точке соответствует единственная пара чисел , то функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки и писать вместо .

В этом случае областью определения функции является некоторое множество точек плоскости Оху.

Если значение принять за аппликату соответствующей точки пространства, то множество таких точек образуют, вообще говоря, некоторую поверхность, которую называют графиком функции (рис.15).

Если функция задана с помощью аналитического выражения, то областью ее определения считают множество всех таких точек плоскости Oxy, для которых это выражение имеет смысл и дает действительные значения функции.

Например, функция z=2x+3y–1 определена на всей плоскости Oxy, графиком ее является плоскость; функция определена при , то есть –внутри круга радиуса r=1 с центром в начале координат, график этой функции–полусфера радиуса R=1.

Определение функции двух переменных легко обобщить на случай большего числа переменных. Так, функцией трех переменных называется правило, по которому каждой тройке действительных чисел соответствует единственное действительное число , при условии, что каждое число соответствует хотя бы одной тройке .

Обозначают: , .

Областью определения функции трех переменных является некоторое множество точек в пространстве. Саму функцию трех переменных изобразить с помощью графика в пространстве невозможно.

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел
Дифференциальные уравнения