Методы интегрирования


Высшая математика примеры решения задач

Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел

Теорема о среднем значении.

Если непрерывна на то существует такая точка что

(3)

Геометрически: криволинейная трапеция равновелика прямоугольнику с тем же основанием и высотой, равной (рис.5).

Значение функции в точке ξ, определяемое равенством (3), называется средним значением функции на отрезке : . Тройные и двойные интегралы при решении задач Интегрирование по частям

 

Производная интеграла с переменным верхним пределом

Формула Ньютона–Лейбница

Теорема. Если – какая–либо первообразная для непрерывной функции , то

Доказательство. Пусть –некоторая первообразная функции . Но – также первообразная для , а любые две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то есть можно записать:

(4)

Это равенство справедливо для любых . Положим : Но , поэтому , . Полагая в (4) x=b и подставляя значение C, получим Переобозначив переменную интегрирования , получим формулу Ньютона – Лейбница:

При вычислении определенных интегралов будем записывать:

Пример1. (геометрически это площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды и отрезком оси Ox).

Пример2.

существования неопределенного иноеграла Если подинтергальная функция f(x) непрерывна на некотором множестве Х, то для неё существует первообразная F(х), а следовательно и неопределенный интеграл
Дифференциальные уравнения