Методы интегрирования


Математика курсовая задачи с решениями

Теория непрерывных функций и основные теоремы о функциях, непрерывных в точке и на множестве, определение точек разрыва функции и их классификация

Теорема: (признак сравнения)

Даны два знакоположительных числовых ряда

(1)

(2)

причем при всех .

Тогда:

1)если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1);

2)если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

Доказательство: Обозначим n–е частичные суммы рядов (1) и (2): . Пусть ряд (2) сходится. Это означает, что существует конечный . По условию , поэтому при всех , то есть последовательность { } ограничена, следовательно, ряд (1) сходится. Пусть теперь ряд (1) расходится, то есть . Тогда из неравенства следует, что , следовательно, ряд (2) расходится.

Замечания:

В силу теоремы 3 признак сравнения справедлив и в случае, если начиная с некоторого номера k, то есть при .

Чтобы пользоваться признаком сравнения, нужно иметь для сравнения ряды, про которые заранее известно, сходятся они или расходятся. В качестве таких рядов можно использовать сходящуюся бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, а также обобщенные гармонические ряды , где k–действительное число. Несколько позже мы докажем, что при такие ряды расходятся, а при – сходятся. При получаем расходящийся ряд , который называется гармоническим рядом.

Вычисление предела иррациональной функции Общих правил вычисления предела иррациональной функции нет. Способ вычисления зависит от вида функции. Поэтому рассмотрим применяемые методы на конкретных примерах
Дифференциальные уравнения