Методы интегрирования


Математика курсовая задачи с решениями

Спираль Архимеда, описываемая точкой, двигающейся по вращающемуся кругу, стояла особняком среди многочисленных кривых, известных его современникам.

Биномиальный ряд.

Разложим в ряд Маклорена функцию , где –любое действительное число. Для этого вычислим производные.

,

,

,

,

При получаем: , , , ,…, ,….

Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (на концах интервала ряд сходится или расходится в зависимости от конкретного значения ) и что . Таким образом, при имеет место разложение  (4)

Ряд (4) называется биномиальным рядом.

5. Разложение функции в ряд Тейлора.

При функция не определена, поэтому ее нельзя разложить в ряд Маклорена. Разложим ее в ряд Тейлора, например, по степеням . Для этого вычислим приводные.

, , , , …, , ….

При получаем: , , , , , …, , ….

Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток и что . Таким образом, при имеет место разложение:

 . (5)

Замечание. Разложение функций в ряды Тейлора или Маклорена непосредственно часто связано с громоздкими вычислениями при нахождении производных и исследовании остаточного члена. На примерах покажем некоторые приемы, позволяющие избежать этих трудностей.

Исследовать функцию на непрерывность в ее естественной области определения, указать точки разрыва и их характер
Дифференциальные уравнения