Совпадает
ли сумма полученного ряда Тейлора с функцией 
, для которой он составлен? Оказывается,
не всегда. При каких условиях сумма ряда Тейлора совпадает с функцией, для которой
он составлен?
Рассмотрим 
–ю частичную сумму ряда Тейлора:
|
|
(4) |
Многочлен (4) называется многочленом Тейлора
степени n. Разность 
называется остаточным членом ряда Тейлора.
Теорема.
Для
того, чтобы бесконечно дифференцируемая в точке 
функция являлась суммой составленного для нее ряда
Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы 
.
Можно показать, что остаточный член можно представить в форме Лагранжа:
, где 
–некоторое число из интервала 
. Таким образом
|
|
(5) |
Формула
(5) называется формулой Тейлора, а ее частный случай при 
называется формулой Маклорена:
, где 
.
Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена
1.Разложение функции
в ряд Маклорена.
.
.
Составим для функции формально ряд Маклорена:
.
Найдем область сходимости этого
ряда 
при любых x,
следовательно, областью
сходимости ряда является промежуток 
. Заметим, что так как ряд сходится абсолютно,
то 
при любых x и тем более 
при любых x.
, 
, тогда 
Таким образом, имеет место разложение
при 
:
|
|
(1) |
