Исследовать функцию на непрерывность в ее естественной области определения, указать точки разрыва и их характерСовпадает ли сумма полученного ряда Тейлора с функцией
, для которой он составлен? Оказывается, не всегда. При каких условиях сумма ряда Тейлора совпадает с функцией, для которой он составлен?
Рассмотрим
–ю частичную сумму ряда Тейлора:
![]()
(4)
Многочлен (4) называется многочленом Тейлора степени n. Разность
называется остаточным членом ряда Тейлора.
Теорема.
Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в точке
функция
являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы
.
Можно показать, что остаточный член можно представить в форме Лагранжа:
, где
–некоторое число из интервала
. Таким образом
![]()
(5)
Формула (5) называется формулой Тейлора, а ее частный случай при
называется формулой Маклорена:
, где
.
Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена
1.Разложение функции
в ряд Маклорена.
.
.
Составим для функции
формально ряд Маклорена:
.
Найдем область сходимости этого ряда
при любых x,
следовательно, областью сходимости ряда является промежуток
. Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то
при любых x и тем более
при любых x.
,
, тогда
Таким образом, имеет место разложение при
:
![]()
(1)