Методы интегрирования


Математика курсовая задачи с решениями

Спираль Архимеда, описываемая точкой, двигающейся по вращающемуся кругу, стояла особняком среди многочисленных кривых, известных его современникам.

Совпадает ли сумма полученного ряда Тейлора с функцией , для которой он составлен? Оказывается, не всегда. При каких условиях сумма ряда Тейлора совпадает с функцией, для которой он составлен?

Рассмотрим –ю частичную сумму ряда Тейлора:

(4)

Многочлен (4) называется многочленом Тейлора степени n. Разность называется остаточным членом ряда Тейлора.

Теорема.

Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в точке функция являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы .

Можно показать, что остаточный член можно представить в форме Лагранжа:

, где –некоторое число из интервала . Таким образом

(5)

Формула (5) называется формулой Тейлора, а ее частный случай при называется формулой Маклорена:

, где .

 

Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена

1.Разложение функции в ряд Маклорена.

.

.

Составим для функции формально ряд Маклорена:

.

Найдем область сходимости этого ряда при любых x,

следовательно, областью сходимости ряда является промежуток . Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то при любых x и тем более при любых x.

, , тогда Таким образом, имеет место разложение при :

(1)

Исследовать функцию на непрерывность в ее естественной области определения, указать точки разрыва и их характер
Дифференциальные уравнения