Методы интегрирования


Математика курсовая задачи с решениями

Спираль Архимеда, описываемая точкой, двигающейся по вращающемуся кругу, стояла особняком среди многочисленных кривых, известных его современникам.

Теорема (о структуре области сходимости степенного ряда).

Областью сходимости степенного ряда:

(2)

является интервал , к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть присоединены точки и , где (если этот предел существует). В каждой точке интервала ряд сходится абсолютно.

Доказательство. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

(3)

 

Применим к ряду (3) признак Даламбера.

Возможны три случая.

1.Если или , или , то ряд (3) сходится. Но тогда по достаточному признаку сходимости знакопеременного ряда сходится и ряд (2), причем абсолютно.

2.Если , то ряд (3) расходится.

В этом случае , то есть при достаточно больших , значит и , следовательно, ряд (2) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

Определение. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда, а половина его длины называется радиусом сходимости степенного ряда.

Замечание. Всякий степенной ряд (2) сходится при . Если других точек сходимости у ряда (2) нет, то считают, что . Если степенной ряд сходится во всех точках числовой прямой, то считают, что .

Исследовать функцию на непрерывность в ее естественной области определения, указать точки разрыва и их характер
Дифференциальные уравнения