Методы интегрирования


Математика курсовая задачи с решениями

Спираль Архимеда, описываемая точкой, двигающейся по вращающемуся кругу, стояла особняком среди многочисленных кривых, известных его современникам.

Остаток ряда и его оценка

Рассмотрим сходящийся ряд

(1)

Вычисление суммы ряда обычно технически очень сложно. Поэтому в качестве S берут Sn:S»Sn. Точность последнего равенства возрастает с увеличением n.

Определение: Если числовой ряд сходится, то разность Rn=S–Sn называется n–м остатком ряда.

Таким образом, Rn представляет собой сходящийся числовой ряд:

Rn=Un+1+Un+2+…

Заметим, что .

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой Sn равна |Rn|=|S–Sn|.

Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до e>0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие: |Rn|<e.

Однако в общем случает находить точно Rn не удается.

Теорема: (об оценке остатка знакочередующегося числового ряда)

Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n–й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n+1)–го члена ряда.

Доказательство: Пусть ряд сходится по признаку Лейбница. Тогда n–й остаток ряда Rn=±(Un+1–Un+2+Un+3–…) сам является суммой знакочередующегося числового ряда и по теореме Лейбница |Rn|£|Un+1|. Теорема доказана.

Пример: Вычислить с точностью до 0,01 сумму ряда .

Очевидно, ряд сходится по признаку Лейбница. . Поэтому S»1–0,166»0,84.

Исследовать функцию на непрерывность в ее естественной области определения, указать точки разрыва и их характер
Сколько стоит балкон узнать больше.
Дифференциальные уравнения