Методы интегрирования


Математика курсовая задачи с решениями

Спираль Архимеда, описываемая точкой, двигающейся по вращающемуся кругу, стояла особняком среди многочисленных кривых, известных его современникам.

Пример: Исследовать на сходимость ряд.

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.

Замечания.

Теорема Лейбница справедлива и если условие Un>Un+1 выполняется, начиная с некоторого номера N.

Вообще, условие Un>Un+1 не является необходимым. Ряд может сходиться, если оно не выполняется. Например, ряд сходится, как разность двух сходящихся рядов , хотя условие

Un>Un+1 не выполняется.

Теорема: (Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда)

Пусть

(2)

знакопеременный ряд. Пусть сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

(3)

Тогда ряд (2) тоже сходится.

Доказательство: Рассмотрим вспомогательный ряд

(4)

Очевидно 0£Un+|Un|£2|Un| при всех n=1,2,3…. Ряд (3) сходится по условию, поэтому сходится ряд и по признаку сравнения сходится ряд (4). Ряд (2) представляет собой разность двух сходящихся рядов (3) и (4), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.

Замечание:

Обратное утверждение неверно. Если данный ряд сходится, то ряд, составленный из абсолютных величин его членов, может и расходится. Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд –расходится (гармонический ряд)

Исследовать функцию на непрерывность в ее естественной области определения, указать точки разрыва и их характер
Дифференциальные уравнения