Методы интегрирования


Математика курсовая задачи с решениями

Спираль Архимеда, описываемая точкой, двигающейся по вращающемуся кругу, стояла особняком среди многочисленных кривых, известных его современникам.

Знакопеременные ряды

Определение: Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными числовыми рядами, так как они получаются умножением знакоположительных числовых рядов на (–1).

Изучение знакопеременных рядов начнем с частного случая–знакочередующихся рядов.

Определение: Числовой ряд вида , где – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.

Теорема: (признак Лейбница)

Если для знакочередующегося числового ряда

(1)

выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю …>

, то ряд (1) сходится, причем его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство: Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда

По условию U1>U2>…>U2n–1>U2n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S2n возрастает с возрастанием n и S2n > 0 при любом n.

С другой стороны

S2n=U1–[(U2–U3)+(U4–U5)+…+(U2n–2–U2n–1)+U2n]

Выражение в квадратных скобках положительно и S2n>0, поэтому,

S2n<U1 для любого n. Таким образом, последовательность частичных сумм S2n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный . При этом 0<S£U1, так как S2n<U1.

Рассмотрим теперь частичную сумму нечетного числа членов ряда

S2n+1=S2n+U2n+1.

Перейдём в последнем равенстве к пределу при n®¥:

Таким образом, частичные суммы как четного, так и нечетного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому , то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

Исследовать функцию на непрерывность в ее естественной области определения, указать точки разрыва и их характер
рак шейки матки злокачественное опухолевое образование.
Дифференциальные уравнения