Методы интегрирования


Математика курсовая задачи с решениями

Спираль Архимеда, описываемая точкой, двигающейся по вращающемуся кругу, стояла особняком среди многочисленных кривых, известных его современникам.

Теорема: (интегральный признак Коши)

Пусть члены знакоположительного числового ряда

(1)

не возрастают: U1³U2³³Un³… и пусть такая положительная, непрерывная, невозрастающая на промежутке [1;¥) функция, что

Тогда ряд (1) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом .

Доказательство:

Построим график функции на отрезке и построим прямоугольники с основаниями и высотами U1, U2, … Un–1, а также с высотами U2, U3, … Un.

Sn=U1+U2+…+Un–1+Un, Sвпис=U2·1+U3·1+…+Un·1=U2+U3+…+Un=Sn–U1, Sопис=U1+U2+…+Un–1=Sn–Un

 

Площадь криволинейной трапеции Получаем

.

Отсюда

(2)

(3)

Пусть сходится. Это означает, что существует конечный предел . Соотношение (2) принимает вид: при любом n. Это означает, что последовательность частичных сумм ряда (1) ограничена, следовательно, ряд (1) сходится.

Пусть расходится. Это означает, что и тогда из (3) следует, что последовательность частичных сумм ряда (1) неограничена, следовательно, ряд (1) расходится.

Пример. Исследуем с помощью интегрального признака обобщенный гармонический ряд .

. При имеем

.

При k=1 имеем

Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при k>1 и расходится при k£1.

Исследовать функцию на непрерывность в ее естественной области определения, указать точки разрыва и их характер
Дифференциальные уравнения