Экстремум функции двух переменных
Пусть функция 
определена в некоторой области G и точка 
.
Функция 
имеет в точке 
максимум, если существует такая окрестность
этой точки, что для всех точек 
этой окрестности, отличных от 
, выполняется неравенство 
.
Аналогично определяется минимум функции.
Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.
Теорема (необходимое
условие экстремума). Если –точка экстремума функции , то частные производные 
и 
в этой точке равны нулю или не существуют.
Точки,
в которых частные производные 
и 
обращаются в нуль или не существуют, называются
критическими точками этой функции.
Сформулированный признак не является достаточным: не обязательно критическая точка является точкой экстремума.
Чтобы проверить, есть ли экстремум в критической точке, используют следующую теорему (достаточное условие экстремума).
Пусть в некоторой области, содержащей
точку , функция имеет непрерывные частные производные до 3–го
порядка включительно и 
. Обозначим: 
. Тогда
1)если 
, то функция имеет экстремум в точке 
, причем это максимум, если 
и минимум, если 
;
2)если 
, то экстремума в точке нет;
3)если 
, требуется дополнительное исследование (экстремум
в точке может быть или не быть).