Заметим, что члены тригонометрического ряда являются определенными на действительной оси 2-периодическими функциями. Поэтому и сумма тригонометрического ряда (если этот ряд сходится) также является 2-периодической функцией.Экстремум функции двух переменных
Пусть функция
определена в некоторой области G и точка
.
Функция
имеет в точке
максимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек
этой окрестности, отличных от
, выполняется неравенство
.
Аналогично определяется минимум функции.
Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.
Теорема (необходимое условие экстремума). Если
–точка экстремума функции
, то частные производные
и
в этой точке равны нулю или не существуют.
Точки, в которых частные производные
и
обращаются в нуль или не существуют, называются критическими точками этой функции.
Сформулированный признак не является достаточным: не обязательно критическая точка является точкой экстремума.
Чтобы проверить, есть ли экстремум в критической точке, используют следующую теорему (достаточное условие экстремума).
Пусть в некоторой области, содержащей точку
, функция
имеет непрерывные частные производные до 3–го порядка включительно и
. Обозначим:
. Тогда
1)если
, то функция имеет экстремум в точке
, причем это максимум, если
и минимум, если
;
2)если
, то экстремума в точке
нет;
3)если
, требуется дополнительное исследование (экстремум в точке
может быть или не быть).