Методы интегрирования


Математика типовой расчет Примеры решений

Определение ряда Фурье и принцип локализации. Мы будем изучать в первую очередь вопросы сходимости ряда Фурье в данной точке, на отрезке, равномерной сходимости на всей числовой оси и т.п.

Экстремум функции двух переменных

Пусть функция определена в некоторой области G и точка .

Функция имеет в точке максимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство .

Аналогично определяется минимум функции.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если –точка экстремума функции , то частные производные и в этой точке равны нулю или не существуют.

Точки, в которых частные производные и обращаются в нуль или не существуют, называются критическими точками этой функции.

Сформулированный признак не является достаточным: не обязательно критическая точка является точкой экстремума.

Чтобы проверить, есть ли экстремум в критической точке, используют следующую теорему (достаточное условие экстремума).

Пусть в некоторой области, содержащей точку , функция имеет непрерывные частные производные до 3–го порядка включительно и . Обозначим: . Тогда

1)если , то функция имеет экстремум в точке , причем это максимум, если и минимум, если ;

2)если , то экстремума в точке нет;

3)если , требуется дополнительное исследование (экстремум в точке может быть или не быть).

Заметим, что члены тригонометрического ряда являются определенными на действительной оси 2-периодическими функциями. Поэтому и сумма тригонометрического ряда (если этот ряд сходится) также является 2-периодической функцией.
Дифференциальные уравнения