Методы интегрирования


Математика типовой расчет Примеры решений

Определение ряда Фурье и принцип локализации. Мы будем изучать в первую очередь вопросы сходимости ряда Фурье в данной точке, на отрезке, равномерной сходимости на всей числовой оси и т.п.

Полное приращение и полный дифференциал. Дифференциалы высших порядков

Пусть дана функция Предположим, что оба ее аргумента x и y получают соответственно приращения и . Тогда функция также получает приращение, , которое называется полным приращением функции.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение можно представить в виде где –произвольные приращения аргументов x и y в некоторой окрестности точки , A и B–постоянные (не зависят от ), –бесконечно малая более высокого порядка, чем – расстояние между точками и .

Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции (обозначается dz, ).

Таким образом, .

Можно доказать, что если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные и , причем , .

Следовательно,

(*)

(**)

Под дифференциалами независимых переменных условимся понимать их произвольные приращения: , . Тогда .

Аналогично для функции трех переменных

.

Из формул (*) и (**) следует, что при малых , то есть , или .

Пример. Вычислить приближенно . Решение. , или ;

; ; ; ; тогда ; .

;

; ;

; .

Тогда .

Дифференциалы высших порядков определяются так же, как и для функции одной переменной: , .

Нетрудно показать, что если x, y –независимые переменные, то ;

.

Заметим, что члены тригонометрического ряда являются определенными на действительной оси 2-периодическими функциями. Поэтому и сумма тригонометрического ряда (если этот ряд сходится) также является 2-периодической функцией.
Дифференциальные уравнения