Методы интегрирования


Математика типовой расчет Примеры решений

Определение ряда Фурье и принцип локализации. Мы будем изучать в первую очередь вопросы сходимости ряда Фурье в данной точке, на отрезке, равномерной сходимости на всей числовой оси и т.п.

Частной производной n–го порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной (n–1)–го порядка той же функции.

При этом учитывается, что производные можно вычислять по различным переменным. Так, функция двух переменных имеет две частных производных 1–го порядка: и , четыре частных производных 2–го порядка:

, , , , восемь частных производных 3–го порядка (от каждой из четырех производных 2–го порядка можно найти производную как по x, так и по y), например, , .

Частные производные высших порядков обозначают также , , , , , . Частная производная 2–го или более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешенной частной производной.

Справедлива теорема:

Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

Так,

Пример. Показать, что

Решение.

Заметим, что члены тригонометрического ряда являются определенными на действительной оси 2-периодическими функциями. Поэтому и сумма тригонометрического ряда (если этот ряд сходится) также является 2-периодической функцией.
Дифференциальные уравнения