Методы интегрирования


Математика контрольная курсовая Примеры решений

Две функции называются равносильными, если они принимают одинаковые значения на любом наборе значений входящих в эти функции переменных, т. е. у этих функций одинаковые таблицы истинности.

Задача отыскания решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию при , носит название задачи Коши.

Геометрически задачу Коши можно сформулировать так: найти интегральную кривую дифференциального уравнения , проходящую через заданную точку .

Отметим, что дифференциальные уравнения, как правило, описывают определенный процесс, протекающий в природе. Если условия задачи полностью определяют процесс, то он должен протекать однозначно, то есть решение дифференциального уравнения, которое моделирует этот процесс, должно быть единственным, в то время, как общее решение не дает определенного ответа.

Вопрос о том, в каком случае можно утверждать, что частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, существует, а так же, что оно будет единственным, выясняется теоремой существования.

Теорема существования и единственности решения. Если функция непрерывна в области, содержащей точку , то уравнение имеет решение такое, что .

Если, кроме того, непрерывна и частная производная , то это решение уравнения единственно.

Укажем основное свойство общего решения. Общее решение дифференциального уравнения обладает тем свойством, что из него по любому заданному начальному условию может быть найдено частное решение, удовлетворяющее этому условию.

Это означает, что, подставляя в общее решение значения и , мы получаем уравнение относительно , из которого может быть найдено значение , если, конечно, в точке выполнены условия теоремы существования и единственности решения. Тогда функция и будет искомым частным решением.

Рассмотрим теперь приемы решения некоторых типов дифференциальных уравнений первого порядка.

Значение функции можно задать с помощью таблицы истинности, которая показывает, чему равна функция на всех возможных комбинациях значений ее переменных
Дифференциальные уравнения