Методы интегрирования


Математика типовой расчет Примеры решений

Определение предела функции в точке Важную роль в курсе математического анализа играет понятие предела функции в точке a, связанное с поведением функции в проколотой окрестности этой точки.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Находим общее решение уравнения . Корни характеристического уравнения равны . Тогда .

Число и не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения. Тогда частное решение неоднородного уравнения ищем в виде , где –многочлен первой степени с неопределенными коэффициентами. Найдем первую и вторую производные от

Подставим и в исходное уравнение, сократим его на и получим уравнение . Вычислить интегралы от функции комплексного переменного

Отсюда . Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях последнего уравнения:

x

2A=1

 

 

 

 

Þ

 

Þ

 

x0

3A+2B=0

 

 

Таким образом, , а общее решение исходного уравнения имеет вид: .

Замечание. Если правая часть линейного неоднородного уравнения имеет вид , то это является частным случаем при . Тогда все рассмотренное для случая II остается справедливым и при . Так, если 1) среди корней характеристического уравнения нет равных 0, то частное решение ищут в виде ; 2) если , то ; 3) если , то .

Функция, область определения, множество значений Пусть X — некоторое подмножество в R. Говорят, что на множестве X определена функция, действующая в R, если известно правило (закон) f , по которому каждому числу x из X ставится в соответствие единственное число y = f (x) из R.
Дифференциальные уравнения