Методы интегрирования


Математика типовой расчет Примеры решений

Определение предела функции в точке Важную роль в курсе математического анализа играет понятие предела функции в точке a, связанное с поведением функции в проколотой окрестности этой точки.

Общее решение неоднородного уравнения составим по формуле . Имеем .

Случай II. Пусть правая часть уравнения (18) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, то есть имеет вид где –многочлен n–й степени, то есть .

Тогда возможны следующие частные случаи.

1)Число m не является корнем характеристического уравнения . В этом случае частное решение нужно искать в виде

.

Действительно, найдем и .

. Подставим и в уравнение с правой частью . Тогда имеем после сокращения на :

(22)

Здесь –многочлен n–й степени, –многочлен степени
n–1, –многочлен степени n–2. Таким образом, слева и справа от знака равенства стоят многочлены n–й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему для определения коэффициентов

2)Число m является корнем характеристического уравнения, то есть . Тогда в уравнении (22) справа стоит многочлен степени n, а слева коэффициент при равен нулю, что означает, что в этой части уравнения стоит многочлен степени ниже, чем n. Тогда уравнение (22) ни при каких значениях не может быть тождеством. Таким образом частное решение не может быть найдено в виде .

В этом случае а)если один корень характеристического уравнения равен m, а другой отличен от m, то частное решение ищут в виде и б)если оба корня , то частное решение ищут в виде .

Действительно, если решение ищут в виде , то мы имеем здесь многочлен степени . Тогда в уравнении (22) в левой части стоит многочлен степени n, так как , а производная многочлена степени будет многочленом степени n. Аналогично рассуждаем и в том случае, когда .

Функция, область определения, множество значений Пусть X — некоторое подмножество в R. Говорят, что на множестве X определена функция, действующая в R, если известно правило (закон) f , по которому каждому числу x из X ставится в соответствие единственное число y = f (x) из R.
Дифференциальные уравнения