Теорема. Если 
и 
–линейно независимые частные решения линейного
однородного уравнения второго порядка, то их линейная комбинация 
, где 
и 
–произвольные постоянные, является общим решением
этого уравнения.
Доказательство.
В силу теорем 1 и 2 (и следствия к ним) является решением уравнения (9) при любом выборе
постоянных и .
Если решения и –линейно независимы, то 
–общее решение, так как это решение содержит
две произвольные постоянные, которые не могут быть сведены к одной. Примеры вычисления
производной. Математика примеры решения задач
В тоже время, если бы и были линейно зависимыми решениями, то уже не являлось бы общим решением. В этом случае
, где α–константа. Тогда 
, где 
является постоянной. 
не может быть общим решением дифференциального
уравнения второго порядка, так как зависит лишь от одной постоянной.
Итак, общее решение уравнения (9):
|
|
(11) |
где и –линейно независимые частные решения этого
уравнения, а и –произвольные постоянные.