Математика, физика Примеры вычисления интегралов Дифференциальные уравнения

Молекулярное строение вещества
Закон Дальтона
Молекулярно-кинетическая теория газов
Элементы статистической физики
Закон Фика
Распределение Больцмана
Распределение молекул по кинетическим
энергиям
Зубчатая передача
Физические основы термодинамики
Первое начало термодинамики
Работа расширения газа
Термический КПД
Энтропия
Поверхностное натяжение
Гидродинамика
Закон Кулона
Взаимодействие заряженных частиц
Напряженность электрического поля.
Принцип суперпозиции
Поток вектора электрического смещения
Напряженность поля точечных зарядов
Напряженность поля заряженной линии
Сила, действующая на заряд в
электрическом поле
Работа по перемещению заряда в поле
Потенциальная энергия и потенциал поля
точечных зарядов
Градиент потенциала
Свойства диэлектриков
Уравнение Клаузиуса - Мосотти
Электрический момент диполя
Поляризация диэлектриков
Электрическое поле в диэлектрике
Электронная и атомная поляризации
Конденсаторы
Электрическая емкость
Энергия электрического поля
Энергия плоского конденсатора
Расчеты электротехнических цепей
Теоретическая механика
Плоская система сходящихся сил
Метод кинетостатики
Работа и мощность
Промышленная электроника
Математика примеры решения задач
Целые числа
Математический анализ
Операции над множествами
Логические символы
Числовые множества
Теорема Кантора
Предел последовательности
Свойство пределов
Основные свойства интеграла
Табличные интегралы
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных
функций
Дробно-рациональные функции
Непрерывные функции
Предел функции по Коши
Односторонние пределы
Точки разрыва функции
Геометрический смысл
производной
Физический смысл производной
Гиперболические функции
Дифференциалы высших
порядков
Теорема Ферма
Теорема Ролля
Теорема Коши
О правилах Лопиталя
Исследование поведения
функции
Выпуклость и точки перегиба
Асимптоты
Построение графиков функций
Интегрирование
Понятия «число» и «операция»
натуральные числа
числовое множество
Понятие о среднем
Дифференциальное уравнение
Криволинейный интеграл
второго рода
Функциональный ряд
Вычислить массу поверхности
Изменить порядок интегрирования
Найти площадь фигуры
Найти длину дуги
Найти силу давления
Несобственный интеграл
Понятие комплексного числа
Одночлены и многочлены
Тригонометрические выражения
Алгебраические уравнения
Система неравенств
с одной переменной
Предмет теории вероятностей
Аппаратные средства
персонального компьютера
Технические характеристики ПК
Компьютерные сети
уровень передачи данных

протоколы передачи данных
Древнее искусство
«Сикстинская капелла»
доисторической живописи.
Рождение стиля
Русское барокко
Вавилония.
Микены.
Греция и эллинистический мир
Древнеруское искусство
Архитектура Киевской Руси
Софийский собор в
Новгороде Великом
Белокаменное зодчество
Успенский собор
Кремлевские укрепления
Сборочный чертеж
Особое место в европейской
художественной культуре XIII— XIV вв.
занимает Италия
Шатровое зодчество 
Собор Василия Блаженного 
Московское барокко
Монументальная живопись
Новгород
Московское государство
Иконопись
Псковская иконопись
Феофан Грек
Дионисий
Искусство художественного
оформления книги
Ювелирное искусство
Оформление чертежей
Машиностроительное черчение
Об искусстве и художниках
Техника живописи
Курс лекций по истории живописи
Трещины в слоях масляной живописи
Различные методы в масляной живописи
Лессировки
Смолы средней твердости
Лаки для живописи
Матовые масляные краски
Материалы для грунта и их грунтовка
Клеевой грунт
Палитры
Поступательный ход развития
техники живописи
Подготовка стен для живописи
Масла
Краски древности
Метод живописи, которым пользовались
живописцы Фландрии
Оптическое смешение красок
Техника живописи Леонардо да Винчи
Техника живописи Рибейры,
Веласкеза, Муриль
Строительные материалы
Энергосбережение в энергетике
и теплотехнология
Использование энергетических ресурсов
Оценка экономии энергии
Теплопотери
Тепловой баланс
Выработка электроэнергии
парогазовые установки
Работа котельной установки

 

Конструкция определенного интеграла создается на основе построения интегральных сумм для интегрируемой на некотором отрезке функции. Причем различных интегральных сумм можно построить бесконечно много. Как правило, полезно в первую очередь рассматривать крайние (экстремальные) значения характеристик объекта исследования и по ним изучать его свойства. В нашем случае этими характеристиками служат наибольшее и наименьшее значения функции на отрезках разбиения

Первообразная функция. Неопределенный интеграл

Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении дифференциала данной функции или ее производной. Многочисленные вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи: для данной функции найти такую функцию , производная которой равнялась бы . Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием функции. Метод замены переменной Теорема. Всякий многочлен степени n разлагается на n линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при . Пример Вычислить интеграл

Метод интегрирования по частям. Если и –функции, имеющие непрерывные производные, то , тогда ; проинтегрировав это равенство и учитывая свойство 2 неопределенного интеграла, получим формулу интегрирования по частям:

Интегрирование рациональных дробей

Курсовые по математике Определение двойного интеграла Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных z = f (x,y).

Покажем на примерах, как интегрируются дроби каждого типа.

Пример. . Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида , где m и n–четные положительные числа, вычисляются с помощью формул понижения степени: Рассмотрим методы интегрирования простейших видов иррациональностей

Определенный интеграл

Задача о площади криволинейной трапеции Пусть – непрерывная положительная функция, заданная на отрезке . Фигура, ограниченная кривой прямыми x=a и x=b и осью ОХ, называется криволинейной трапецией Определение определенного интеграла К нахождению предела сумм, аналогичных сумме (1), приводит целый ряд задач естествознания. Поэтому вполне естественно изучить этот процесс независимо от конкретного содержания задачи.

Имеет место теорема существования определенного интеграла. Всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке. Теорема о среднем значении

Замена переменной в определенном интеграле Теорема. Пусть дан интеграл , где непрерывна на . Введем новую переменную , связанную с равенством

Интегрирование по частям в определенном интеграле Формула интегрирования по частям в определенном интеграле выводится так же, как и для неопределенного интеграла, и имеет вид

Приложения определенного интеграла

Приведем без вывода основные формулы и примеры геометрических приложений определенного интеграла. Вычисление площади в декартовых координатах.

Пример. Найти площадь, ограниченную линиями и .

Пример. Найти площадь, ограниченную улиткой Паскаля

Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями

Линейные уравнения первого порядка Линейным уравнением первого порядка называют уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

Вычисление длины дуги Если кривая задана параметрическими уравнениями , , то длина ее дуги , где –значения параметра, соответствующие концам дуги .

Вычисление объема тела вращения. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой , отрезком оси абсцисс и прямыми (рис.6), вычисляется по формуле

Ряды сходимость признак Коши, Даламбера

Теория рядов является одним из важнейших разделов математического анализа. И не столько потому, что многочисленными применениями его проникнуто все здание как самого анализа, так и почти всех опирающихся на него прикладных наук, сколько по той причине, что на сравнительно несложном материале, какой представляет нам собою теория рядов, типичные для всего анализа ходы мыслей, цепи представлений и образов и даже целые логические схемы выступают с особенной ясностью и рельефностью; хорошо известно, что учащемуся, который активно и прочно овладел теорией рядов, дальнейшее усвоение разделов анализа обычно уже не доставляет никаких затруднений.” Соглашаясь с этими словами известного советского математика и педагога А.Я. Хинчина, добавим еще, что теория рядов – это неотъемлемая часть образования математика, физика, инженера, учителя средней школы, ибо она является аппаратом для вычисления значений функций и интегралов, не берущихся в конечном виде, для проведения технических расчетов (например, для определения прогиба балок в строительных конструкциях), она используется при введении новых понятий в различных областях мате- матики (например, понятия интеграла Лебега от простой функции, голоморфной функции в теории функций комплексной переменной), служит средством получения важных результатов как в самой математике, так и в математической физике. Теория рядов непосредственно соприкасается со школьным курсом математики, например, по таким вопросам как арифметическая и геометрическая прогрессии, предел последовательности, бином Ньютона, вычисление значений тригонометрических функций и др.

Числовые ряды

Определение: Пусть задана бесконечная числовая последовательность Числовым рядом называется бесконечная сумма Простейшие свойства числовых рядов

Теорема: Ряды сходятся или сходятся одновременно

Необходимый признак сходимости ряда

Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов Нахождение суммы ряда часто связано с большими техническими трудностями. В таких случаях сумму находят приближенно: . Последнее равенство тем точнее, чем больше n, при условии, что ряд сходится. Сходимость или расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков сходимости числовых рядов. Теорема: (признак сравнения)

Пример: Исследовать на сходимость ряд Аналогично доказывается, что из расходимости одного из рядов следует расходимость другого ряда. Теорема: (признак Даламбера) Если расходимость ряда установлена с помощью признака Даламбера, то

Теорема: (признак Коши) Теорема: (интегральный признак Коши)

Знакопеременные ряды Определение: Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Пример: Исследовать на сходимость ряд. Остаток ряда и его оценка

 Функциональные ряды Определение. Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. Его обозначают:

Теорема (о структуре области сходимости степенного ряда) Всякий степенной ряд сходится при . Если других точек сходимости у ряда нет, то считают, что . Если степенной ряд сходится во всех точках числовой прямой, то считают, что . Свойства степенных рядов

Разложение функций в степенные ряды Совпадает ли сумма полученного ряда Тейлора с функцией , для которой он составлен? Оказывается, не всегда. При каких условиях сумма ряда Тейлора совпадает с функцией, для которой он составлен?

Разложение функции в ряд Маклорена. Биномиальный ряд. Разложим в ряд Маклорена функцию , где –любое действительное число. Для этого вычислим производные.

Пример. Разложить в степенной ряд функцию .

Комплексные числа

Понятие комплексного числа Комплексным числом z называется число вида , где , а x и y–вещественные числа. Число x называется действительной частью, y–мнимой частью комплексного числа z. Это записывают следующим образом: . Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться полярными координатами , где r–расстояние точки от начала координат, а φ–угол, который составляет радиус–вектор этой точки с положительным направлением оси Ox.

Некоторые сведения о многочленах

Разложение многочлена на множители Функция , где n–целое число, называется многочленом или рациональной целой функцией от x. Число n называют степенью многочлена. Коэффициенты –это действительные или комплексные числа. Независимая переменная x также может быть как действительным, так и комплексным числом.

Дифференциальные уравнения Примеры решений

Функцией двух переменных называется правило, по которому каждой паре чисел соответствует единственное число , при условии, что каждое число соответствует хотя бы одной паре .

Функция , удовлетворяющая дифференциальному уравнению первого порядка при любом значении произвольной постоянной C, то есть совокупность всех решений этого уравнения, называется его общим решением. Задача отыскания решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию при , носит название задачи Коши. Среди дифференциальных уравнений первого порядка можно выделить несколько типов уравнений, общие решения которых выражаются через интегралы или, другими словами, выражаются в квадратурах. Примерами таких уравнений являются уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения, уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли можно решать двумя способами: методом подстановки Бернулли y = uv , т.е. тем же методом, что и линейное уравнение, или методом сведения к линейному уравнению.

Линейные уравнения первого порядка Линейным уравнением первого порядка называют уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид Пример. Конденсатор емкостью c включается в цепь с напряжением E и сопротивлением R. Определить заряд q конденсатора в момент t после включения.

Дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде . Мы будем рассматривать уравнения второго порядка, которые можно разрешить относительно производной второго порядка, то есть записать в виде . Уравнения, допускающие понижение порядка Пример. Решить уравнение .

Линейные однородные уравнения второго порядка. Общие свойства решений

Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным, если оно имеет вид: то есть является линейным относительно неизвестной функции y и ее производных и . Теорема. Если –решение линейного однородного уравнения второго порядка, а C–постоянная, то также является решением этого уравнения.

Теорема. Если и –линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения второго порядка, то их линейная комбинация , где и –произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пример. Найти общее решение уравнения .

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Пример . Составить общее решение дифференциального уравнения .

Теорема. Общее решение линейного неоднородного уравнения равно сумме какого–нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения . Рассмотрим метод неопределенных коэффициентов, с помощью которого в некоторых случаях можно определить решение неоднородного уравнения.

Пример. Решить уравнение . Общее решение неоднородного уравнения составим по формуле . Имеем . Рассмотренные примеры показывают, что дифференциальные уравнения являются мощным инструментом решения различных практических задач. Поэтому будущему инженеру необходимо знать основы теории дифференциальных уравнений и методы их решения.

Пример. Решить уравнение . Решение. Находим общее решение уравнения . Корни характеристического уравнения равны . Тогда . Пусть правая часть неоднородного уравнения представлена в виде тригонометрического полинома .

Пример. Решить уравнение . Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни . Если правая часть линейного неоднородного уравнения имеет вид , где и –многочлены от x, то форма частного решения определяется так

Функция двух переменных, ее область определения и график Пусть M–некоторое множество пар действительных чисел , L–некоторое множество действительных чисел. Предел функции двух переменных. Непрерывность Функция нескольких переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю. Правила предельного перехода, установленные для функции одной переменной, остаются справедливыми. Точки разрыва данной функции могут располагаться как отдельно (изолированные точки разрыва), так и заполнять целые линии (линии разрыва).

Частные производные Частной производной по x функции в точке называется предел отношения частного приращения по x функции в точке к приращению при стремлении к нулю. Частной производной n–го порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной (n–1)–го порядка той же функции.

Полное приращение и полный дифференциал. Дифференциалы высших порядков

Экстремум функции двух переменных Пусть функция определена в некоторой области G и точка .

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных

Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент

Производной функции в точке P по направлению (обозначают ) называется предел отношения приращения функции в направлении к величине перемещения при : .

Градиентом скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , называется вектор, координаты которого совпадают со значениями соответствующих частных производных этой функции

Градиентом скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , называется вектор, координаты которого совпадают со значениями соответствующих частных производных этой функции: , или .